Úgy van, mert úgy mondják?

Gyakran gondolkodás nélkül fogadunk el sokszor hallott vagy ismert forrásból származó állításokat. Ez az írás négy, paradoxonnak tartott példával szemlélteti, hogy a téves, átgondolatlan értelmezések évszázadokat is túlélhetnek és tudósokat is megfertőzhetnek.

Úgy van, mert úgy mondják?

Na ne. Az ember már a saját ép elméjében kezd kételkedni.

Szóval hogy ne kapkodjam el: időről időre eszembejut az a történet, amelyet népmeseként is hal­lottam, iskolai olvasmányként is találkoztam vele: ott az ördög volt az egyik főszereplő, az eredeti­ben (Aiszóposz [Aesopus, Ezopusz] 35. meséjében) egy szatír.

Mesélik, hogy egykor az ember meg a szatürosz barátságot fogadtak egymásnak. Éppen beállt a tél, és az idő hidegre fordult. Az ember leheletével melengette a kezét. A szatürosz kérdésére, miért teszi ezt, azt felelte, hogy a hideg miatt melengeti a kezét. Később asztalhoz ültek. Az étel nagyon forró volt; az ember falatonként vitte a szájához és megfújta. A szatürosz ismét tudakolta, hogy mire való ez. Az ember megmondta, hogy így hűti le az ételt, mivel nagyon forró. Amaz erre így válaszolt: – Felbontom veled a barátságot, te ember, amiért egy szájból fújsz meleget és hide­get.
A mese azt példázza, hogy nekünk ís óvakodnunk kell a kétes jellemű emberek barátságától.[1]

Szóval akkor mi is történt?

Beállt a tél, azt mondja. Fúj a szél is meg az ember is. Ha nincs az ember is annyira beállva, hogy fé­lig már megfagyott, akkor a lehelete aligha lehet 35 fok alatt, mert ha a tüdejéből ennél hűvösebb levegő jönne, akkor őt már a hideg rázná. Az a levegő persze lehűl a hidegben, ha már ő kifújta; de ő nem fúj 35 foknál hidegebbet: nagy valószínűséggel 36,5 fok körülit.

Később asztalhoz ültek: ez is azt jelzi, hogy az ember nemigen lehetett hidegrázós állapotban; de feltehetően nagy láza sem volt, úgyhogy nyugodtan feltételezhetjük, hogy a tüdejéből kiáramló le­vegő hőmérséklete nem érte el a 38 fokot: nagy valószínűséggel 36,5 fok körüli volt ekkor is.

A fentiek alapján legfeljebb 3 fok lehetett a különbség az ember leheletének a két esetben mérhető hőmérséklete között, az is csak akkor, ha a kézmelengetés és a (nem tudjuk, mennyivel) később tör­tént asztalhoz-ülés között a kihűlő hidegrázásból láz lett.

Ez a hőmérséklet persze a gémberedett kézhez képest meleg, a forró leveshez képest hideg.

Szóval: az ember leheletének a hőmérséklete ugyanolyan vagy nagyon hasonló kellett, hogy legyen, mégpedig „ember-hőmérsékletű”; amely hőmérséklet azonban a gémberedett kézhez (valamit a mélyhűtőszekrény belsejéhez és a Himalája csúcsához) képest meleg, miközben a forró leveshez (valamint a Naphoz, vagy akár a levesfőzéshez használt tűzhöz) képest hideg.

Fújhatott volna az az ember egyszerre is: kezében egy bögre, abban a leves; ő fúj – és nicsak: ugyanaz a fú melengeti a kezét, amelyik hűti a levest!

Ez volna a kétes jellem jele?

Rá kell döbbennem, hogy az én jellemem is kétes, sőt háromes, mert például az egérhez képest magas vagyok, a zsiráfhoz képest alacsony, de a környezetemben lévő többi emberhez képest meg éppen semmi különleges; most akkor mi van? Az életkorom pedig – hát az meg pillanatonként vál­tozik és mindig több ahhoz képest, mint előzőleg volt, de kevesebb, mint amekkora később lesz.

Szatír legyen a talpán (patáján), aki itt kiigazodik. Annyi biztos hogy velem se barátkozna.

És olvasom azon a honlapon, hogy a mesének hosszas utóélete van: népi történet, székely anekdo­ta, La Fontaine verse, magyar és külföldi források. Árad a tanulság: „Hordd el irhád, meg se for­dulj, / Nem kaphat itt fedelet / Olyan, aki egy szájból fuj / Hideget és meleget!”; „Nem érzem ma­gam biztonságban olyan lénnyel, aki ugyanazzal a lehelettel képes hideget és meleget is fújni!”; „Az emberek szeretik, ha nem változunk állandóan, és ha mindig ugyanúgy cselekszünk.”¹

Dehát kéremszépen: itt pontosan arról van szó, hogy az az ember ugyanolyant fúj mindig – csak máshoz és máshoz hasonlítják!

Azt már szóba sem merem hozni, hogy egyáltalán nem az az előnyös és nem az a jellem ismérve, ha valaki mindig ugyanúgy cselekszik, minden kérdésre ugyanúgy válaszol.[2]

Tessék mondani: én vagyok az, aki ezt nagyon félreérti? Vagy lehetséges, hogy évezrednyi idő alatt senki nem gondolta végig, csak mondják, mert a Nagy Mesemondó így mondta?

Az idézett honlapon egyetlen, számomra hiteles szereplő a székely anekdotában szereplő kisgyer­mek: „A gyermek elgondolkozott a látottakon és hallottakon, majd így foglalta össze tapasztalatát: – De csodálatos pofája vagyon kigyelmednek, édesapám, ha kell, meleget, ha kell, hideget ereszt ki belőle.”¹ Tipikus gyermek-logika! Ez rendben is volna; de vajon a többiek, akik megírták, átdol­gozták, mesélték, hallgatták a történetet: ők is mind gyermekek voltak?

Azt megtapasztaltam már korábban is, hogy ha valamilyen kérdésre elhangzik egy lehetséges, logi­kusnak látszó megoldás, válasz, magyarázat, akkor sokakban fel sem merül, hogy más, ugyanúgy lehetséges, ugyanolyan logikusnak látszó megoldás, válasz, magyarázat is lehetne. Politikusok és tudósok vitájában is láttam már, hogy mindegyik mondja a saját (logikus, meggyőző, elfogadható) véleményét, és mivel annak az igaz voltáról meg van győződve, eleve azt feltételezi, hogy az attól eltérő minden más vélemény téves. Pedig édesapám többször idézett útravaló tanácsa[3] nemcsak a tanárokról szólhat.

Vagy az emberek csak utánamondják, ahogyan hallják? És akinek mondják, az meg tudja, hogy hát igen, erre ez és ez a válasz, ezt így és így kell értelmezni?

Mint az Epimenidész-paradoxon. Ha Epimenidész azt mondta volna: „Ez a mondatom nem igaz” – ez valóban paradoxon lenne, mert ha valamiről, ami igen-nem alapon eldönthető, azt állítjuk, hogy az egyik eset nem valósul meg, akkor a másik viszont megvalósul. Ha arra az állításra, hogy valami „ilyen”, azt mondom, hogy nem igaz, akkor az a valami „nem ilyen”. Ha arra az állításra, hogy valami „nem ilyen”, azt mondom, hogy nem igaz, akkor az a valami „ilyen”. Több eset nincs. Ha tehát ez a fenti mondat nem igaz, akkor az állítása, hogy „nem igaz”, az ellentettjére fordul, vagyis a mondat igaz… és így tovább.

Epimenidész azonban a legenda szerint nem ezt mondta, hanem azt, hogy „minden krétai hazudik.”

A történethez, ugye, hozzátartozik, hogy ő maga is krétai volt.

Node hiba van a kréta körül! (Pardon.) Itt ugyanis nem két lehetséges ellentett-esetről van szó: a „harmadik kizárásának elve” itt nem érvényes! Mi van, ha csak annyit is feltételezünk, hogy van legalább egyetlen krétai, aki nem hazudik? Epimenidész azt mondja, hogy minden krétai hazudik – de lám, ez nem igaz, hiszen találtunk ellenpéldát. Epimenidész mondata tehát nem igaz; de ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy az ellentéte feltétlenül igaz lenne.[4] Van krétai, aki hazudik (például maga Epimenidész), és van, aki nem hazudik. Hol itt a paradoxon?

Eleve az is értelmezés kérdése, hogy Epimenidész mondata azt jelenti-e, hogy minden krétai mindig hazudik vagy hogy csak néha-néha… Szóval egyáltalán nem egyértelmű a helyzet – mégis így mondják, és az emberek bólogatnak, hogy igen, igen, ilyen a nagy megoldhatatlan paradoxon.[5]

Vagy a testvérpár-paradoxon, amelyen matematikusok vitáznak. Vitáznak! Matematikusok! Mert még ha két szatír beszélgetne erről a vonaton, azon nem volnék meglepődve – de annak a tudo­mánynak a képviselői, amelynek a mélyenszántó feldolgozása során már az általános iskola alsó ta­gozatában megtanuljuk, hogy mennyire fontos elolvasni és megérteni a kérdést, mielőtt válaszolni kezdünk… Persze előfordulhat, hogy az eltérő fogalomrendszer miatt nehéz vagy lehetetlen a meg­értés,[6] de most nem erről van szó: matematikusok vitatkoznak, ugyanannak a matematika-terület­nek, a klasszikus valószínűségszámításnak a fogalomkörében.

Van egy testvérpár. Tudjuk, hogy egyikük fiú. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a másikuk lány? Ennyi a kérdés. De hogy még véletlenül se keveredjünk bele gender-ügyekbe vagy demográfiai té­mákba (hogy a születési arányok nem azonosak), hadd mondjam el olyan példával, ahol minden teljesen egyértelmű és semmi konnotációja nincs.

Két pénz-feldobás után annyit tudunk, hogy egyik (nem tudjuk, melyik) esetben fej volt az ered­mény. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a másik esetben írás lett?

Azt mondja az egyes számú (iskolában jótanuló) matematikus: a két eset teljesen független egy­mástól: a másik dobás eredménye 50-50 % eséllyel lehetett akár fej, akár írás.

Azt mondja a kettes számú (fúrtagyú) matematikus: két dobás eredménye logikailag összesen négy­féle lehet: fej-fej, fej-írás, írás-fej, írás-írás. Tudjuk, hogy most az egyik dobás fej volt; nem tudjuk, melyik. Az tehát biztos, hogy a két lezajlott dobás együttes eredménye írás-írás nem lehetett. Esze­rint csak három eset valamelyike valósulhatott meg: fej-fej, fej-írás és írás-fej. A három felsorolt eset közül kettőben szerepel az írás. Annak a valószínűsége tehát, hogy a két dobásban együttvéve írás-eredmény is volt, az ennek megfelelő esetek száma osztva az összes lehetséges eset számával, azaz kettő osztva hárommal, azaz 66⅔ %.

Ó, jaj! Hiszen ez a két gondolatmenet nem ugyanarról szól! Semmi ellentmondás nincs közöttük (és főképpen: nyoma sincs semmiféle „paradoxonnak”). Mind a két válasz jó – csak nem ugyanarra a kérdésre válaszolnak!

Egyik (nem tudjuk, melyik) dobás eredmény fej lett. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a másik dobás eredménye írás volt? Ahogyan a jótanuló mondja: pontosan 50 %, teljesen függetlenül attól, hogy az egyik dobás milyen lett (vagy volt-e más dobás és ha volt, akkor egy volt vagy millió), és tel­jesen függetlenül attól is, hogy mit tudunk róla (vagy tudunk-e róla egyáltalán).

Hát annak mennyi a valószínűsége, hogy igaza lesz annak, aki (már tudva, hogy két dobás volt és az egyiknek fej az eredménye) arra tippel, hogy a másik eredmény írás? Ennek a valószínűsége 2÷3, azaz 66⅔ %, mivelhogy aki tippel, már csak 3, egyébként egymástól még mindig független és még mindig azonos válószínűségű lehetséges eset közül választ (mert a negyedikről már tudja, hogy az nem valósulhatott meg); e három lehetséges eset közül pedig kettőben van írás.

A dobás „írás” eredményének a valószínűsége 50 %. Ha viszont valaki, aki a dobások egyikének az eredményéről már tud, azt tippeli, hogy a másik dobás írás lett, akkor az ő tippje beigazolódásának a valószínűsége 66⅔ % – hiszen igaz, hogy a másik dobás eredménye is 50 % eséllyel lehetett akár fej, akár írás, de a tippelő ember az ismerete birtokában az együttes eredmény-variációk egyikét ki­zárhatta: így aztán az ő tippje pontosabb 50 %-nál. Az esemény valószínűsége 50 %, a tipp beigazo­lódásának valószínűsége viszont ennél több, mert aki tippel, már tud valamit, ami az eseményt nem befolyásolja, de a tipp beválását igen.

Az az Olvasó, akinek még nincs teljesen elege az egészből, belegondolhat abba is, hogy mit nyávog­na hozzá ehhez a kérdéshez Schrödinger macskája, miközben nem él és nem nem-él, hanem mind­kettőt egyszerre teszi a dobozában, adott valószínűségekkel – legalábbis annak a megfigyelőnek a szemében, aki nem lát bele a dobozba, azaz nem észlelheti a tényleges helyzetet.

A logikai képlet ugyanez. A doboz két nyílása valamelyikén (50-50 % a valószínűség, hogy melyiken) elemi részecske érkezhet. Ha itt jön, semmi baj; ha ott jön, a macska elpusztul. Tegyük fel, hogy jött két részecske; az egyik (nem tudjuk, melyik) a „jó” nyíláson át.

Kérdés: mennyi a valószínűsége, hogy a macska elpusztult. Válasz: 50%, mert az egyik részecske ér­kezését túlélte; a másik pedig 50-50 % valószínűséggel vagy életben hagyta, vagy nem – minden más körülménytől függetlenül.

Másik kérdés: milyen valószínűséggel lesz igaza annak, aki annak a tudásnak a birtokában, hogy a részecskék egyike a „jó” nyíláson jutott a dobozba, arra tippel, hogy a macska a kísérlet végére elpusztult? Válasz: 66⅔ % valószínűséggel, mert igaz, hogy 4 eset lehetséges (jó-jó, jó-rossz, rossz-jó, rossz-rossz), amelyek mind azonos valószínűséggel következtek be, minden más körülménytől függetlenül – de aki az esetek egyikéről (a rossz-rossz esetről) biztosan tudja, hogy nem az való­sult meg, az pontosabban tippelhet. Ő már tudja, hogy csak három további lehetséges eset ma­radt, azonos valószínűségekkel, és ezek közül csak egy az (a nem-nem), amelyben a macska túlél­hette a történetet. Vagyis kettő a háromhoz (66⅔ %) a valószínűsége annak, hogy igaza van a tippelőnek.

Két eltérő eredmény – két eltérő kérdésre. Az egyik kérdés az esemény valószínűségére, a másik kérdés az adott ismeret birtokában mondott tipp beválásának valószínűségére vonatkozik. Hol itt az ellentmondás? Hol itt a paradoxon? És ha már itt a macska: hol itt a bölcső?[7]

[1]      Változatlanul a http://www.wekerlekos.hu/download/irodalom/3_179_hideget_is_meleget_is.htm oldalról.

[2]     Kedvenc alapviccem a témában: – Hány óra van? – Fel van írva erre a cédulára: egy kedves ember felírta nekem ma reggel. – Ide az van írva, hogy nyolc óra. De mi van akkor, ha valaki nem nyolckor kérdezi meg, hogy hány óra? – Akkor nem mutatom meg neki a cédulát. – De honnan tudod, hogy mikor van nyolc óra? – Föl van írva a cédulára. (Galla Miklós 1997-es jelentében: https://www.youtube.com/watch?v=geDx6WvwYXo 6:45-től. „Történelmi” ismétlődése: „Brüsszel a felelős, ezt felírtam magamnak.”: Simicskó István, KDNP, 2022. szeptember 26.)

[3]     „A rossz tanárt onnan lehet felismerni, hogy minden kérdésre tudja az egyetlen lehetséges jó választ. A jó tanár nem olyan biztos a dolgában, mert ismeri a válasz pontatlanságát, érvényességi korlátait. A nagyon jó tanár pedig több olyan választ is ismer, amelyik jó lehet.”

[4]     Bővebben és szemléletesebben: „Karinthy téves következtetése”

[5]     https://hu.wikipedia.org/wiki/Epimenid%C3%A9sz-paradoxon ismerteti a mondás történetét és megmutatja, hogy ez Epimenidész eredeti mondatának félreértése és nem paradoxon – de a köztudatban mégis…

[6]     Bővebben és szemléletesebben: „Jelentősen könnyebb helyesen válaszolnunk, ha értjük a kérdést”

[7]     A „Hol itt a bölcső? Hol itt a macska?” kérdések Kurt Vonnegut „Macskabölcső” című könyvében hangzanak el, amelynek az első mondata így szól: „Ebben a könyvben egyetlen szó sem igaz”. Ennek a mondatnak az elemzése most már az Olvasó feladata.