Évekkel ezelőtt írtam egy ritkán látott régi ismerősnek az alábbi levelet:

Kedves Angéla!

Arról beszélgettünk, hogy a lányaid, akik egyébként eleven eszű, érdeklődő és a szellemi erőfeszítéseket (például rejtvényeket) kedvelő emberkék, miért „irtóznak” a matematikától, fizikától. Lehet, hogy sokaknak furcsa, és lehet, hogy a te számodra, mint pszichológus számára kifejezetten szakmába vágó aberráció, de én nem vagyok képes ezeket a tárgyakat olyan száraznak és lélektelennek tartani, mint sokan.

Ez attól lehet, hogy én a matematikában, fizikában egészen mást látok. Ha az én szememben például a fizika nem volna más, mint az élettelen világra vonatkozó szabályok bemagolnivaló gyűjteménye, akkor nyilván én sem szeretném. De tudom, hogy egyáltalán nem ez a helyzet.

Fizikai szabály, törvény, abban az értelemben, ahogyan sokan gondolják: egyszerűen nem létezik! Ez az egész nem más, mint egy nagyszerű szellemi játék.

Nem arról van szó, hogy egyszer valaki megfogalmazott egy „törvényt” és akkor most már tudjuk, hogy hogyan működik a világ; hanem a világ működik, ahogyan működik, mi pedig megpróbáljuk felismerni benne a szabályosságokat. Egyáltalán nem biztos azonban, hogy ez sikerül. A természet nem törődik azzal, hogy mi milyen szabályszerűségeket vélünk felfedezni benne.

Hű, de nehéz kifejezni. Hadd mondjak inkább egy példát. Íme:

 

A felfedező naplója

Szóval valahogyan így megy a folyamat, lépésről lépésre finomodva.

Annakidején úgy képzelték, hogy a bolygók körpályán keringenek. Azután egyre pontosabban tudták megfigyelni őket és kiderült, hogy nem egészen így van. A bolygók valami olyan pályán mozognak, mintha egy nagy körön egy kisebb kör gurulna végig és ennek egy pontja lenne a bolygó. Kiszámolták, hogy eszerint egy-egy bolygónak hol kellene megjelennie a következő pillanatban. (Egy természettudományos sejtésnek a bizonyítéka nyilván nem más, mint hogy meg lehet-e jósolni vele a természeti jelenségek lefolyását.) Kiderült, hogy ez a modell pontosabb, mint a korábbi volt, de még mindig nem igazán pontos. A bolygók sokkal inkább valami olyan pályán mozognak, mintha egy nagy körön egy kisebb kör gurulna végig és ezen a kisebb körön egy még kisebb kör gurulna végig és ennek egy pontja lenne a bolygó. Kiszámolták, hogy eszerint egy-egy bolygónak hol kellene megjelennie a következő pillanatban. Kiderült, hogy ez a modell pontosabb, mint a korábbi volt, de még mindig nem igazán pontos. Nem akarom szaporítani a szót: már a kis körön gördülő még kisebb körön gördülő kétezervalahányadik kis körnél tartottak, amikor Kepler azt mondta: nicsak, ez egészen olyan, mintha a bolygók ellipszisalakú pályán mozognának!

Vigyázzunk: ez nem azt jelenti, hogy az okos Kepler bácsi észrevette, felfedezte, hogy a bolygók ellipszisalakú pályán mozognak! A bolygók mozognak valami útvonalon, amelynek semmi köze sincs körhöz, ellipszishez és más emberi kitalációkhoz. Mozognak, ahogyan mozognak, függetlenül attól, hogy az ember mit gondol róluk, sőt függetlenül attól, hogy gondol-e valaki róluk valamit egyáltalán. Azokban a percekben, amikor 1600-ban Rómában égett a máglya Giordano Bruno alatt, az égitestek pontosan ugyanúgy mozogtak, mint négyszáz évvel később, amikor szobrot állítottak a Virágok Terén, az egykori máglya helyén Bruno emlékére. Az „idegen Napok” körüli bolygók is ugyanúgy keringtek tovább, de nem azért, hogy egy tudományos sejtést igazoljanak, hanem mert ostoba kődarabok, amelyek nem tudnak mást, mint a rájuk ható fizikai hatások szerint mozogni.

Az ember megpróbál kitalálni egy szabályt, amely szerint kikövetkeztetheti, hogy mi fog történni a következő időben. De ne tévesszük össze: ez nem „természeti szabály”, hanem logikai: nem a természetben, hanem a fejünkben működik. Megfigyelünk egy helyzetet, képet készítünk róla az agyunkban, többé-kevésbé pontosan. Két folyamat zajlik ettől kezdve: egy a valóságban, a természet módján, egy pedig a fejünkben, a magunk kialakította logikánk módján. Telik az idő, kialakul egy újabb kép a természetben és egy újabb kép a fejünkben. Most megint megfigyeljük a természetet és megvizsgáljuk, hogy vajon azt történt-e, amire számítottunk: vagyis a természetben kialakult új állapotról is készítünk az agyunkban egy képet és ezt összehasonlítjuk azzal a képpel, amely a gondolkodásunk eredményeképpen alakult ki. Ha a kettő egyezik, akkor úgy érezzük, hogy jól értettük meg a természet működését. Ha nem egyezik, akkor át kell fogalmaznunk azt, amit eddig törvényszerűségnek gondoltunk.

Az egész tehát nem más, mint egy „Hogyan folytatnád ezt a sorozatot?”- típusú logikai játék. Megpróbáljuk kitalálni a szabályosságot és kikövetkeztetni, hogy mi lesz a sorozat folytatása. Ezután megnézzük a tényleges folytatást. Ha a tényleges folytatás az, amire számítottunk, akkor úgy érezzük, hogy megtaláltuk a szabályt. Egészen addig érezzük így, amíg nem tapasztalunk a sorozatban olyan elemet, amely eltér attól, amit vártunk. Akkor megpróbáljuk a modellt továbbfejleszteni, hogy illeszkedjen minden eddigi esetre és erre a legújabbra is.

Persze ez a finom megkülönböztetés a mindennapi életben értelmetlennek tűnik: inkább valóban úgy fest, mintha az, amit kimondunk, valóban „a természet törvénye” volna. „Minden vízbe mártott test a súlyából annyit veszt, amennyi az általa kiszorított víz súlya, kisangyalom!” Ha tudományosan precízek akarnánk lenni, csak ezt mondhatnánk: „Eddig, az emberiség által elvégzett véges számú kísérlet során, ha megmérték egy vízbe mártott test súlyát és az általa kiszorított víz súlyát, akkor ennek a két súlynak az összege mérési hibahatáron belül megegyezett azzal a súllyal, mint amikor a test súlyát vízbe nem mártva mérték meg. Ezért azt feltételezzük, hogy az ilyen mérések a jövőben is ezt az eredményt fogják adni.”

A fizika, a kémia, a biológia, minden természettudomány a „Hogyan folytatnád ezt a sorozatot?” játék eddigi, máig meg nem cáfolt feltételezéseinek a gyűjteménye.

A természettudósok között az a megállapodás, hogy ha egy jelenséget kétféle módon is meg lehet magyarázni, akkor az egyszerűbb magyarázatot kell elfogadni: azt, amelyik kevesebb előfeltételezésre épül. A játékszabály tehát nem pusztán annyi, hogy „Találjuk ki, mi lehet a szabályosság ebben a sorozatban”, hanem: „Találjuk ki, mi lehet a legegyszerűbb szabályosság ebben a sorozatban”!

A dolog persze megoldhatatlanul nehéz. Hogy csak kettőt mondja a megoldhatatlanság okairól:

– a megfigyelésünk mindig pontatlan, tehát amikor a szabályt ki akarjuk találni, nem ismerjük igazán pontosan a folytatnivaló sorozat elemeit,

– és nem tudjuk garantálni, hogy maga a megfigyelés ne befolyásolja a megfigyelt folyamatot, tehát hogy „el ne rontsuk” valamennyire, amikor megfigyeljük.

A matematika: logikailag az ellenkezője. Nem arról van szó, hogy megfigyelünk valamit és megpróbáljuk kitalálni a szabályosságot, hanem képzeletbeli szabályokat találunk ki és csak később derülhet ki, hogy ezek ráillenek-e valamire. Semmi nincs, ami pontosan négyzet lenne vagy pontosan logaritmikusan változna. A „fizikai szabály” megfigyelésekből levont általánosítás, a „matematikai szabály” logikai játék.

„Képzeljünk el valamit, aminek semmi kiterjedése nincs. Hogy ne kelljen mindig elmondani, hogy ‘az a kiterjedés nélküli valami’, mondjuk helyette mindig azt, hogy ‘pont’. Képzeljünk el tehát egy ‘pont’-ot, majd képzeljük el mindazon ‘pont’-ok összességét, amelyek ettől az egytől teljesen azonos távolságra vannak. Hogy ezt a hosszút se kelljen mindig elmondani: ezeknek a pontoknak az összességét nevezzük úgy, hogy ‘gömb’.” Ezekután, ha elfogadjuk az Euklidészi Geometria nevű (vagy bármelyik másik) játékszabály-gyűjteményt, akkor a játék abból áll, hogy ki tud a ‘gömb’-ről újabb és újabb, a játékszabályoknak megfelelő mondatokat mondani.

Ennyi.

Vannak, akik a magas, tiszta, szent és érthetetlen matematika és a földhözragadt, piszkos, primitív valóság határvonalán élnek: mérnökök például. Ők azt mondják, hogy ha valami egyezred milliméter pontatlansággal ‘gömb’, akkor a napi gyakorlatban még egész jól gurul. A matematikus ezen csak kacag, hiszen ezredmilliméter pontatlanságú gömb nincs: valami vagy teljesen gömb, vagy egyáltalán nem. A tiszta matematika művelője ezért a mérnöki gondolkodás pontatlan termékeit használja ugyan, de mélyen megveti.

A matematikában tehát nem arról szól a játék, hogy valami sorozatot kellene folytatni. Nincs semmiféle sorozat. A játék abból áll, hogy találjunk ki minél több olyan fogalmat, állítást, szabályt, amely nincs ellentmondásban a korábbiakkal; illetve az elhangzott állítások bizonyítására vagy cáfolatára találjunk ki újabb gondolatmeneteket.

Ha valami teljesen új fogalmat kitalálunk és tulajdonságokat és szabályokat mondunk róla tetszésünk szerint anélkül, hogy a korábbiakkal ellentmondásba keverednénk: ezzel a matematika új ágát alapoztuk meg. Lehet, hogy ezzel (a szellemi érdekessége miatt) ezer más matematikus kezd foglalkozni; lehet, hogy egy se. De ennek semmi köze nincs ahhoz, hogy az új kitalációt valami valóságos jelenség inspirálta-e és hogy az eredményei a valóságban ráillenek-e bármire is.

Ahogyan azonban egy mostanában ritkábban idézett szerző említette: a lét határozza meg a tudatot. Ezért egy-egy matematikai „objektum” mégiscsak valami valóságos dolog végletekig vitt absztrakciója, és a matematika logikája mégiscsak a köznapi logika letisztított általánosítsa. Ezért aztán gyakori, hogy jó valamire, leképez valami valóban létezőt ahelyett, hogy elvont logikai játék maradna.

Kedves Angéla!

Arról beszélgettünk, hogy a lányaid, akik egyébként eleven eszű, érdeklődő és a szellemi erőfeszítéseket (például rejtvényeket) kedvelő emberkék, miért „irtóznak” a matematikától, fizikától. Ha úgy gondolod, hogy nem untatja őket, mutasd meg nekik ezt a levelet. Nagyszerű lenne, ha ráéreznének arra a szellemi kalandra, amelyet a matematika és a természettudományok jelentenek. Ettől persze még nem muszáj szeretniük ezeket az iskolai tantárgyakat. (Iskolai tantárgyként én se igen szerettem őket.) Csak az lenne jó, ha megéreznék: az, ami az iskolában nagyon leegyszerűsítve, elő-emésztve megjelenik, az valójában egy csodálatos és – minden látszat ellenére – nagyon játékos világ „iskolásított” változata.
Üdv a családnak, és remélem, hogy tíz-húsz évenként ezentúl is találkozunk!

A hidrának diffúz idegrendszere van. Ez egészen biztos: tanultuk biológiából.

Akkoriban, éveken át, furcsa szúró mellkasi érzésem volt néha és mindig féltem, hogy jaj, mindjárt infarktusom lesz – mert hogy melyek a közelgő vagy bekövetkező infarktus jelei, azt nem tanultuk, az nem fért a tananyagba. De ami a hidrát illeti: jönne csak szembe, ránéznék és rögtön tudnám, hogy diffúz idegrendszere van. Persze csak ha felismerném, mert hogy mekkora és milyen alakú, azt se tanultuk.

Sok évvel később jöttem rá, hogy feltehetően azért került be a tananyagba, hogy megbeszélhessük, milyen szinteken, milyen változásokon keresztül juthatott el az idegrendszer a kezdetleges diffúz megjelenésétől addig az agyvelőig, amely ilyen tanmeneteket, tanterveket tud kigondolni. A végtelenig és tovább – ahogyan a költő mondja. De akkoriban ez a szándék nem derült ki: a hidra és az ő diffúz idegrendszere az én szememben egyike volt a totálisan felesleges megtanulnivalóknak.

Ugyanúgy, mint a másodfokú egyenlet megoldóképlete. Nem volt igazán gyakori az életemben, hogy másodfokú egyenleteket kellett volna megoldanom, vagyis hasznát vettem volna a szigorúan megjegyzendő megoldóképletnek. Megintcsak évek teltek el, amikor viszont rájöttem, hogy a másodfokú egyenleteknek életre szóló tanulságuk van. Vannak feladatok, amelyeknek nincs jó megoldása – de ahhoz, hogy ezt kimondhassuk, bizonyítani kell, hogy nincs jó megoldás. Vannak feladatok, amelyeknek egyetlen jó megoldása van; és ekkor is bizonyítani kell, hogy nincs több. Vannak ugyanis feladatok, amelyeknek egynél több több jó megoldása is van, ha tehát találtunk egy jó megoldást, attól még egyáltalán nem biztos, hogy nincs más jó megoldás is. Ha valaki nem ért egyet a mi jó megoldásunkkal, akkor egyáltalán nem biztos, hogy az ő megoldása rossz! (És kicsit a középiskolai szint felett: ha valami nem megoldható a valóságos világunkban, megtörténhet, hogy létre tudunk hozni, ki tudunk találni olyan kiterjesztett modellt, amelyben mégiscsak megoldható. A másodfokú egyenletek esetében ez a komplex számokkal kiegészített szám-fogalmat jelenti; más esetekben akár új modellek kialakítását. Ennek a folyamatát a Matek és fizika című írásban próbáltam szemléltetni, kicsit karikírozott stílusban.)

Számomra ezekről a gondolatokról szól a hidra idegrendszere és a másodfokú egyenlet – de ezeket én gondoltam végig, ezekre magam jöttem rá. Holott meggyőződésem, hogy ez lett volna az iskolai tanulásom lényege. Annak az ostoba hidrának a diffúz idegrendszerét kellett bemagolnom és a másodfokú egyenletek megoldóképletének használatát kellett gyakorolnom ahelyett, hogy a szerves fejlődés logikáját tanultam volna (többek között az idegrendszer példáján), és a jó megoldások mindegyikének a felderítési módját tanultam volna (többek között a másodfokú egyenlet példáján).

Persze logikát, gondolkodásmódot, tanulságok levonását nem lehet „úgy általában” tanulni, hanem csak konkrét témákon keresztül. Erről szól az a bejegyzésem, amelyiknek az a címe, hogy Ezen a következtetésemen magam is meglepődtem.

Az azonban biztos, hogy ehhez nem elő-emésztett tanulási tartalmak visszamondása kell, hanem gondolkodni tudás, problémamegoldási tudás.

Én azért szerettem a matematikát és a természettudományi tárgyakat, mert azokban – középiskolai szinten legalábbis – véleményeltérés esetén nagyon mindegy, hogy ki hány éves, milyen beosztású és kinek kicsodája: utánaszámolunk, elvégzünk egy kísérletet és rögtön kiderül, hogy mi a helyzet. És nem szégyen, ha akár a professzor mondja a középiskolásnak, hogy pardon, igazad van, én tévesztettem el. Az a szégyen, ha nem mondja.

Amikor tanár lettem, édesapám ezt a tanácsot adta nekem útravalóul: A rossz tanárt onnan lehet felismerni, hogy minden kérdésre tudja az egyetlen helyes választ. A jó tanár kicsit bizonytalan a dolgában, mert ismeri a válaszok pontatlanságát és érvényességi korlátait is. A nagyon jó tanár pedig akár nagyon bizonytalannak is tűnhet, mert a kérdésekre többféle olyan választ is ismer, amelyek jók lehetnek.

Én ebben a szellemben készülök arra, hogy elindítsam ezt az „egyik kedvenc tanárod vagyok”-sorozatot, amelyben órai dolgozatra készülő és szakdolgozatot író, középiskolás és doktorandusz, érettségizni vagy államvizsgázni akaró, tizenéves, korombéli vagy a kettő közti bármilyen korú tanulók számára – a hozzászólásaikkal együtt – egy-egy kulcsfontosságú tanulnivaló igazi tanulságait fogalmaznánk meg, önmagunknak és egymásnak.

Kockázata nincs, előnye viszont lehet: vágjunk bele!

Viszontlátásra a legközelebbi alkalommal!