A hagyományos képzés kínos pontja az értékelés.

Valamennyien sokféle iskolába jártunk, sokféle képzésben vettünk részt. Felelések, dolgozatok és vizsgák tucatjai vagy százai, osztályzatok ezrei állnak a hátunk mögött. Megtapasztalhattuk azt, amit a szakirodalom is ír: az osztályzatok a jelöltek tudásán kívül más tényezőktől is függenek…

Eleve érdekes, hogy eltérő kultúrákban, de egyazon kultúrán belül is milyen ellentmondó felfogásokkal, kiinduló szemlélettel találkozunk még abban az alapvető kérdésben is, hogy az értékelés során mihez viszonyítsunk: objektív mércékhez-e vagy a többi tanuló eredményeihez.

– Kritérium-orientáltnak nevezzük azt az értékelést, amikor előre megszabott kritériumokhoz, feltételekhez viszonyítunk: aki „átugorja a lécet”, megkapja a megfelelő értékelést. Tehát például: aki a pontszám 81-100 %-át szerezte meg: jeles, 61-80 %: jó és így tovább.

– A norma-orientált értékelés pedig úgy működik, hogy a vizsgált személyek adott hányada kerül egy-egy adott kategóriába. Tehát például: a csoport legjobb 20%-a jelest kap, a második legjobb 20% jót és így tovább.

A kritérium-orientált értékelés eredménye független a többiek teljesítményétől; a norma-orientált értékelés viszont kifejezettem a „mezőnyben” elfoglalt helyet jelzi. Vajon melyik az igazságos?

A helyzet az, hogy mindkettővel találkozunk és a maguk „megszokott” helyén fel sem merül, hogy igazságtalannak tartsuk őket! A nyelvvizsga vagy a számítógép-használói ECDL-vizsga például kritérium-orientált: aki a követelményt teljesíti, átmegy, függetlenül attól, hogy az aznapi száz vizsgázó közül mind a száz sikeres volt vagy csak ő egyedül. A felvételi vizsgákon norma-orientált az értékelés: például az első 50 főt veszik fel, úgyhogy valakinek az eredményessége döntő mértékben múlhat akár azon is, hogy kikkel került egy csoportba.

Az értékelés nemcsak attól függően lehet más és más, hogy mihez viszonyítunk, hanem a (gyakran ki sem mondott) céltól függően is.

– Amikor tantárgyi záró-osztályzatot adunk, akkor szummatív értékelést végzünk: ez az osztályzat a tanév, a képzés, a tanfolyam során elért eredmény összefoglaló értékelése.

– A képzés során menetközben adott osztályzat normatív értékelést valósít meg: fő funkciója szerint ez visszajelzés, és mint ilyen, a tanuló, a tanulási folyamat befolyásolásának eszköze.A szummatív értékelés arról szól (és semmi másról), hogy a vizsgált személy most, a mérés pillanatában (például a tantárgy, a tanfolyam stb. végén) milyen szinten áll: semmi köze a bejárt úthoz vagy a korábbi eredményekhez. A normatív értékelés azonban (pedagógiai célzattal) felfelé kerekítve biztató, lefelé kerekítve figyelmeztető lehet: ez a fő feladata.

Rendkívül furcsa ezeknek a szempontoknak a keveredése. Például: az iskolában a tanév végén kapott osztályzat „szokásos módon” a tanév közben kapott osztályzatok egyfajta átlagaként alakul ki (olyannyira, hogy kötelező, hogy a diáknak a tanév során meghatározott számú osztályzata legyen; ha nincs, némelyik tanár az utolsó hetekben gyorsan „generál” néhányat). Ez teljesen olyan, mintha valakinek azért nem adnák oda az olimpiai aranyérmet, mert igaz, hogy az olimpián ő nyújtotta a legjobb teljesítményt, de egy hónappal korábban az edzőtáborban „nem hozta a formáját”.

Mellesleg: ha valakinek végig, napról napra felkészülve valamennyi felelete és dolgozata négyes lett, az ugyanúgy négyest kap az év végén, mint az, aki szerzett öt hármast és öt ötöst; ráadásul függetlenül ezek sorrendjétől. Tehát ha az év során hármasról javított ötösökre vagy ötösről rontott hármasokra, ez – a szabály szerint – ugyanabban az évvégi osztályzatban nyilvánul meg.

Valójában az évközi osztályzatoknak elsősorban pedagógiai szerepet kellene betöltenie (visszajelzés, motiválás). Az évvégi osztályzat viszont szummatív értékelés, mert év végén azt kell megállapítani, hogy a tanuló az adott pillanatban milyen szinten áll az adott tantárgyból (függetlenül attól, hogy milyen ütemben, mennyi idő alatt, hányszori „nekifutásra” jutott el ide).

Időigényes volta miatt ritkán alkalmazott módszer a

– diagnosztikus értékelés, amely teljességre törekedve pontosan feltárja, hogy a tanuló mit tud és miben vannak hiányosságai (például: valóban megvan-e minden szükséges előismerete ahhoz, hogy az új tantárgyat, tananyagrészt elkezdje).

Mielőtt tanárként elborzadunk a valamennyi tudnivalóra szisztematikusan kiterjedő értékelés méreteitől, gondoljunk arra, hogy a számítógép használata a hosszadalmas „dolgozatjavítások” sok feladatát leveheti a vállunkról!

Ami pedig a tanulót illeti: egy hosszú tesztlapot kitölteni persze fárasztó, de például a KRESZ- és az ECDL-tesztkönyvek népszerűsége azt mutatja, hogy sokan szívesen vállalják ezt a fáradságot, ha pontos visszajelzést kaphatnak a tudásukról (és előrejelzést a várható vizsgaeredményükről).

Mit tükröznek az osztályzatok? Valóban a tudást, a felkészültséget?
Tudjuk a választ: a mérni kívánt tudáson felül sokféle egyéb tényező is befolyásolja az érdemjegyeket. Ezek közül sorolok most fel néhányat.

Az érzékelés bizonytalanságai, amelyek közül meg kell említeni a halo-hatást (holdudvar-hatást), amikor valamilyen jellemző „kisugárzik” másokra is; például ilyen az, amikor a rendetlen írású tanulóról a tanár kevésbé hiszi el, hogy a feladatra adott megoldása jó (és kevesebb erőfeszítést is tesz, hogy „megfejtse”); valamint
a kontraszt-hatást, amikor valaki a szóbeli vizsgán a nagyon jó vagy a nagyon rossz tanuló után következik, és ezért az ő felelete rosszabbnak, illetve jobbnak tűnik a tanár számára.

A rejtett tanterv érdekessége, hogy nem azért rejtett, mintha bárki is titkolná – hanem mert mindenki olyan magától értetődőnek veszi, hogy nem beszél róla. Ha egy tantárgy tíz tanárát megkérdezzük, hogy mi a tantárgya tanításának a célja, melyek a tantárgyának a „súlypontjai” és így tovább, tízen valószínűleg tízféle választ adnak. A diákok természetesen hamar rájönnek, hogy melyik tanár számára mi a fontos: egyik tanárnál a szabályt kell szószerint visszamondani, másiknál a házi feladatok pontos elkészítése a „kényes pont”, harmadiknál pedig az órai aktivitás és így tovább.

Az attribúciók (tulajdonítások)
kérdéskörében nemcsak arról van szó, hogy a diák minek tulajdonítja a saját sikereit vagy kudarcait (bár ez is nagyon fontos és más írásban még visszatérünk rá), hanem arról is, hogy a tanár minek tulajdonítja ezeket. Ha például a tanár úgy véli, hogy a kudarc a tanulón kívülálló okokon múlt, akkor segítőkészséget tanúsít, ha viszont az a véleménye, hogy a tanulón múlt a sikertelenség, akkor általában büntet. (Alkalmazkodóképesebb diákok – csak diákok? – művészi szintre fejleszthetik a kifogás-keresést.)

A tanári elvárások
szintén befolyásolják az értékelést. Ezeket leggyakrabban ki sem mondják. A tanári elvárások tananyagon, sőt tanórán kívüliek is lehetnek, mégis hozzájárulnak a diák megítéléséhez; közvetve még az osztályzatokhoz is.

Még a gondolkodási motívumaink közt is vannak, amelyek nem tudatosak: a működésüket megakadályozni nem tudjuk, sőt észre sem vesszük. A nem-tudatos motívumaink és beállítódásaink nemcsak döntéseinket, hanem még az érzékelésünket is befolyásolják!

Ezt azért említettem, hogy látsszon: a fent felsorolt, az értékelést befolyásoló szubjektív torzulások (és sok tucatnyi hasonló) nem „átmeneti jelenség”, és főképpen: nem a tanár felkészületlenségének, gonoszságának a megnyilvánulása, hanem „természettörvény-erősséggel” működik. Objektív, reliábilis és valid tesztekkel, bizottság által elbírált vizsgákkal és sokféle módon ellensúlyozhatjuk a hatásukat, de nem tehetünk úgy, mintha nem léteznének vagy mintha mi magunk mentesek lennénk tőlük.

Gyakran mutatkozom be úgy, hogy az eredeti végzettségem szerint a világ legszebb tantárgyainak a tanára vagyok: ezek a matematika és a fizika. (És amikor a hallgatóság elmosolyodik, hozzáteszem: látom, hogy mosolyognak, és ebből arra következtetek, hogy nekik is ezek voltak a kedvenc tantárgyaik.) Aztán azzal folytatom, hogy a tantárgyaimnak három nagyon sajátos tulajdonsága van:

– Ezekben a tantárgyakban véleménykülönbség esetében nem az életkor, a beosztás, a vagyoni helyzet vagy a kapcsolatrendszer dönt, hanem számolunk és mérünk, gondolatkísérletet vagy tényleges kísérletet végzünk – és meglátjuk az eredményt. Azzal példálózom, hogy aki nem hisz a gravitációban, figyelje meg a bolygók pályáját vagy dobjon fel egy téglát és álljon alá: így vagy úgy, a fejtörés meggyőző lesz. (Bocsánat az idétlen szóviccért.) Ez persze a tudományok legújabb, kiforratlan területeire soha nem teljesen igaz, de ha iskolai tantárgyakról van szó, ott nyugodtan elmondhatjuk.

– Ezek azok a tantárgyak, amelyeket nem lehet érdekekhez igazítani. Azt szoktam mondani, hogy még ha a parlament törvényt is alkot arról, hogy a víz ezentúl köteles 90 fokon forrni, mert a derékszög is annyi: az az ostoba víz nem olvassa a közlönyöket… Láttunk már hatalmi rendszereket, amelyek megkísérelték a tudományt is a politikai játszóterévé tenni: a matematika következetessége, a fizika mérhetősége ezt hamar ellehetetleníti (megint csak: az iskolai tantárgyak szintjéig egészen bizonyosan).

– Ezek azok a tantárgyak, ahol az évtizedekkel ezelőtti tankönyveket és táblázatokat is nyugodtan használhatom. Az oxigént nem élenynek nevezzük, ahogyan azt a nyelvújítás idején elkezdték és a szám négyzetét nem kvadrátnak mondjuk, a sebességet pedig nem s, hanem v jelöli, mint jó néhány évtizeddel ezelőtt, de a folyadékba mártott testnek semmi érzéke a fejlődéshez és önkifejezéshez: pontosan ugyanannyit veszít a súlyából, mint Arkhimédész idejében (és mint jóval azelőtt, hogy Arkhimédész – vagy bárki ember – élt volna egyáltalán). Amikor valaki tudálékosan felveti – mert mindig van ilyen a társaságban –, hogy lám, a relativitáselmélet megcáfolta a klasszikus mechanikát, Einstein „kimutatta, hogy Newton tévedett”, akkor a helyi tömegközlekedésre szoktam példát mondani: az autóbuszt gyorsító vagy lassító erő és az autóbusz tömege olyan összefüggésben áll a gyorsulással és lassulással, amelynek a kiszámolásához még a második Newton-axióma is túlságosan pontos – egészen addig, amíg a busz nem gyorsul fel annyira, hogy legalább másodpercenként egyszer megkerüli a Földet… de nem ez derül ki a menetrendből. A különféle fizikai modellek (akár a leginkább idejétmúltak: például a csillagmozgások Föld-központú leírásai is) adott szempontokból, a pontosság adott szintjein érvényesek és azok is maradnak. Amikor bármelyiket is használjuk, tudnunk kell, hogy mire és milyen határok között, milyen pontossággal érvényesek – de a hétvégi házhoz tartozó telek területét akár a laposföld-elmélet alapján is kiszámolhatjuk: mérési hibahatáron belül ugyanannyi lesz az eredmény, mintha a földfelszín görbületét is figyelembe vesszük.

Most jöttem rá, hogy azt sohasem mondtam ezeknek a bemutatkozásoknak a kapcsán, ami pedig sokaknak talán elsőként jutna eszébe ezeknek a tantárgyaknak az előnyeként: a „logikus gondolkodásra nevelést”. A szüleim, nagyszüleim iskoláskora idején a latin nyelvet tartották a logikus gondolkodásra nevelés eszközének, most pedig az informatikáról mondják ugyanezt; az én iskoláskoromban a matematikának volt ilyen híre.

No, gondoltam, ezentúl három helyett négy remek érvvel is bemutathatom, miért „legszebb” a magam tantárgya… de azután elbizonytalanodtam.

Mire, milyen gondolkodási műveletekre tanít iskolai tantárgyként a matematika (és a latin nyelv, az egykori tanítási módszerével, a mintát jelentő memoriterek tömegével, és az informatika, a jelenlegi tanítási módszerével, a különféle szoftverek és keretrendszerek alkalmazásának megismertetésével)? Kétségtelen, hogy szemlélteti és gyakoroltatja:

• logikai szabályok pontos megfogalmazását,

 

• logikai szabályok értelmezési tartományának pontos meghatározását és annak az azonosítását, hogy valamely eset az adott szabály értelmezési tartományába esik-e (melyik szabály értelmezési tartományába esik), azaz az adott szabály vonatkozik-e rá (melyik szabály vonatkozik rá),

• a szabály szerinti átalakítási lépések precíz végrehajtását, illetve annak ellenőrzését, hogy az adott átalakítás pontosan a szabály szerint történt-e.

Vagyis ezek a tantárgyak adott szabályrendszerek alkalmazását tanították, gyakoroltatták – kétségtelenül a (klasszikus, formális) logika szabályainak kérlelhetetlen pontosságú betartásával, sőt azzal a kétségbevonhatatlanul hatalmas pedagógiai eredménnyel, hogy az „ebben szocializálódott” diáknak a későbbi élete során feltűntek a gondolatmenetek formál-logikai hibái és hiányosságai, és már-már hiányérzete támadt, ha egy-egy meghatározás, egy-egy állítás ebből a szempontból pontatlan, elnagyolt módon hangzott el.

Ezek a tantárgyak tehát a meghatározások és szabályok pontos megértését és alkalmazását tanították/tanítják, adott logikai szabályok szerint. (Nagyon kérem, ne menjünk bele most, hogy ezek mennyire univerzális logikai szabályok.)

Nem tanítják azonban a szabályok felfedezését. Nem tanítják az új jelenségek elemzését, az ok-okozati összefüggések felismerését – és annak a felismerését, ha valami nem ok-okozati összefüggés, csak a „post hoc ergo propter hoc” („utána, tehát [nyilván] miatta”) mondással jellemzett következtetési hiba eredménye volna.

Arra jöttem rá hirtelen (és ez az a következtetésem, amelyen magam is meglepődtem), hogy ezt az utóbbit nem a matematika és nem is valamelyik természettudomány iskolai tantárgyaiból lehet elsajátítani, és nem is az egykori módszerekkel tanított latin és a mai módszerekkel tanított informatika segítségével… hanem… hanem az a folyamat tanítja, amikor a saját gondolatainkat, kérdéseinket, felismeréseinket akarjuk önmagunk és mások számára érthetően kifejezni – vagyis amikor nyelvet tanulunk!

Amikor nyelvet tanulunk, akár a saját anyanyelvünket kisgyermekként vagy bármikor később. Én magam, sokévtizedes nyelv-használói múlttal, most is rendszeresen és érdeklődve tanulom az anyanyelvemet, hogy minél jobban, pontosabban, érthetőbben fejezhessem ki magam és értelmezhessem, amit mások kifejeznek.

Amikor nyelvet tanulunk: akár más nyelveket, de nem sémakészletek elsajátításával. Még akkor sem, ha Mérő László szerint a kezdőt és a nagymestert a sémakészletük mérete különbözteti meg egymástól. A sakkban, amellyel ő példálózik, „egymásra épülnek” a szintek: nagymester az, aki a kezdő szinttől végighaladt a teljes úton: itt a magasabb szinten lévőnek valóban rendelkeznie kell az eggyel alacsonyabb szint mindegyik sémájával, amelybe beletartoznak az annál is eggyel alacsonyabb szint sémái és így tovább.

Nagyon kínos, de alig pár héttel korábban, mint ahogyan erre rájöttem, (2018. végén) ezt még a nyelvtanulásról is leírtam, azzal érvelve, hogy nem tudhatja letenni a felsőfokú nyelvvizsgát az, aki a középfokút ne tudná, vagyis a felsőbb szint kompetenciája, a felsőbb szintet jelentő tevékenység önálló végrehajtásának a képessége „tartalmazza” az alsóbb szint kompetenciáját. Maga a nyelvvizsga-rendszer (legalábbis Magyarországon most) valóban erre épül: adott szintű nyelvvizsgához adott feladatsor meghatározott megoldási pontszámát kell elérni, és a vizsgázó megkapja azt a nyelvvizsga-bizonyítványt, amelynek a pontszámait elérte. Tehát a vizsgázó annak a vizsgának a bizonyítványát kapja meg, amelyiknek a pontszámait teljesíti, függetlenül attól, hogy annak a szintnek vagy valamelyik magasabb szintnek a vizsgájára jelentkezett. Ez a szisztéma egyértelműen arra az előfeltételezésre épül, hogy az adott területen a kompetencia magasabb szintje tartalmazza az eggyel alacsonyabb szintet, az meg a még eggyel alacsonyabb szintet és így tovább.

Hát tévedtem.

Ha reliábilis vizsgarendszert akarnék kitalálni, nagy valószínűséggel én is ilyesfajta rendszert képzelnék el, mert ennek a mérésére pontosan követhető szabályokat lehet alkotni. De most rájöttem: nem ez az, amit a nyelv igazi tudásának érzünk.

Hallottál-e már, kedves Olvasóm, autentikus népmese-előadást, tele esetleg az akadémiai nyelvtani és nyelvhelyességi szabályok semmibe vételével, alig azonosítható tájszavakkal és csak akadozva követhető tájszólással? Hallottál-e már hangfelvételt népdal- és monda-kutatók gyűjteményeiből? Ezek vajon nem a nyelvtudás „nagymesteri szintjei” a maguk területén?

Igazán kifejezni, azaz tényeiben és érzéseiben is átadni valamit: most úgy látom, hogy ez az igazi logika-tanulás: ebbe a logika-alkalmazást is beleértve, de a logika-alkotást is – amennyiben a logikát a lehető legszélesebb értelemben a gondolkodás szabályrendszerének tekintjük.

Ebben az értelemben, ha azt akarom, hogy (a közlésem hatására) a beszélgetőpartnerem fejében ugyanaz a gondolati konstrukció alakuljon ki, amely most az enyémben van; vagy ha azt akarom, hogy a beszélgetőpartnerem közlése révén bennem az ő gondolati konstrukciója képeződjön le – akkor a közlendő logikai szerkezetét kell felfedeznem, mégpedig messze az arisztotelészi logikai szabályokon túl. Nem mondhatom, valamire, hogy „utána, tehát [nyilván] miatta”, de mondhatom, hogy „nagy valószínűséggel miatta, mert az az, amit ebben a körben így szoktak kifejezni”; vagy visszafelé: „így fejezem ki, mert ez az, amit ebben a körben várhatóan úgy fognak értelmezni, hogy »nagy valószínűséggel miatta«”.

Most például, ennek a megfogalmazása közben, azon keringek magamban, hogy hogyan lehet nemcsak érthetően, hanem érzékletesen megfogalmazni azt, hogy amivel kezdtem, azaz a latin, a matematika, illetve az informatika megtapasztalt tantárgyai adott (kétségtelenül nagyon hasznos) modellek értelmezési tartományainak, adott helyzetekben való érvényességének (kétségtelenül nagyon hasznos) azonosítását és ezen modellek (kétségtelenül nagyon hasznos) alkalmazását tanították.

Nem pedig a modellalkotást.

Az egykori, illetve a mai módon tanított-tanult latin, matematika és informatika nem a modellalkotásra, hanem a meglévő (megtanult) modellek alkalmazására készíti fel a tanulót.

Nem arra, hogy hogyan gondolkodjunk, amikor olyan jelenséggel, helyzettel találkozunk, amelyre nézve mindegyik korábbi modell pontatlannak tűnik. Vagy amikor nem olyan cél, nem olyan érték mentén keresünk megoldást, amelyre az ismert modellek alapulnak. (Vagy amikor meg kell állapítani, hogy egy adott megoldást – a maga módján nagyon logikusan – sugalló modell mögött milyen, esetleg ki sem mondott célok és értékek vannak.)

Most kellene a gondolatmenettel arrafelé kanyarodnom, hogy honnan vehető észre egy-egy adott modell alkalmatlansága. Honnan vehető észre, hogy egy modell (akár reklám, amely valami feladat megoldására adott terméket, adott eljárást ajánl, akár politikai program valamiféle társadalmi probléma, feszültség megoldására) valójában milyen célt szolgál, milyen értékek érvényesülését segíti, és hová is vezet – miközben mindezt talán az sem érti pontosan, az sem gondolta át tudatosan, aki az adott reklámot, programot kidolgozta, közvetíti.

Azt hittem, hogy amikor ezt a pár oldalt befejezem, eggyel rövidebb lesz a megírandó témáim képzeletbeli listája. Ez a második tévedésem, amelyet ebben az egyetlen dokumentumban beismerek…

Évekkel ezelőtt írtam egy ritkán látott régi ismerősnek az alábbi levelet:

Kedves Angéla!

Arról beszélgettünk, hogy a lányaid, akik egyébként eleven eszű, érdeklődő és a szellemi erőfeszítéseket (például rejtvényeket) kedvelő emberkék, miért „irtóznak” a matematikától, fizikától. Lehet, hogy sokaknak furcsa, és lehet, hogy a te számodra, mint pszichológus számára kifejezetten szakmába vágó aberráció, de én nem vagyok képes ezeket a tárgyakat olyan száraznak és lélektelennek tartani, mint sokan.

Ez attól lehet, hogy én a matematikában, fizikában egészen mást látok. Ha az én szememben például a fizika nem volna más, mint az élettelen világra vonatkozó szabályok bemagolnivaló gyűjteménye, akkor nyilván én sem szeretném. De tudom, hogy egyáltalán nem ez a helyzet.

Fizikai szabály, törvény, abban az értelemben, ahogyan sokan gondolják: egyszerűen nem létezik! Ez az egész nem más, mint egy nagyszerű szellemi játék.

Nem arról van szó, hogy egyszer valaki megfogalmazott egy „törvényt” és akkor most már tudjuk, hogy hogyan működik a világ; hanem a világ működik, ahogyan működik, mi pedig megpróbáljuk felismerni benne a szabályosságokat. Egyáltalán nem biztos azonban, hogy ez sikerül. A természet nem törődik azzal, hogy mi milyen szabályszerűségeket vélünk felfedezni benne.

Hű, de nehéz kifejezni. Hadd mondjak inkább egy példát. Íme:

 

A felfedező naplója

Szóval valahogyan így megy a folyamat, lépésről lépésre finomodva.

Annakidején úgy képzelték, hogy a bolygók körpályán keringenek. Azután egyre pontosabban tudták megfigyelni őket és kiderült, hogy nem egészen így van. A bolygók valami olyan pályán mozognak, mintha egy nagy körön egy kisebb kör gurulna végig és ennek egy pontja lenne a bolygó. Kiszámolták, hogy eszerint egy-egy bolygónak hol kellene megjelennie a következő pillanatban. (Egy természettudományos sejtésnek a bizonyítéka nyilván nem más, mint hogy meg lehet-e jósolni vele a természeti jelenségek lefolyását.) Kiderült, hogy ez a modell pontosabb, mint a korábbi volt, de még mindig nem igazán pontos. A bolygók sokkal inkább valami olyan pályán mozognak, mintha egy nagy körön egy kisebb kör gurulna végig és ezen a kisebb körön egy még kisebb kör gurulna végig és ennek egy pontja lenne a bolygó. Kiszámolták, hogy eszerint egy-egy bolygónak hol kellene megjelennie a következő pillanatban. Kiderült, hogy ez a modell pontosabb, mint a korábbi volt, de még mindig nem igazán pontos. Nem akarom szaporítani a szót: már a kis körön gördülő még kisebb körön gördülő kétezervalahányadik kis körnél tartottak, amikor Kepler azt mondta: nicsak, ez egészen olyan, mintha a bolygók ellipszisalakú pályán mozognának!

Vigyázzunk: ez nem azt jelenti, hogy az okos Kepler bácsi észrevette, felfedezte, hogy a bolygók ellipszisalakú pályán mozognak! A bolygók mozognak valami útvonalon, amelynek semmi köze sincs körhöz, ellipszishez és más emberi kitalációkhoz. Mozognak, ahogyan mozognak, függetlenül attól, hogy az ember mit gondol róluk, sőt függetlenül attól, hogy gondol-e valaki róluk valamit egyáltalán. Azokban a percekben, amikor 1600-ban Rómában égett a máglya Giordano Bruno alatt, az égitestek pontosan ugyanúgy mozogtak, mint négyszáz évvel később, amikor szobrot állítottak a Virágok Terén, az egykori máglya helyén Bruno emlékére. Az „idegen Napok” körüli bolygók is ugyanúgy keringtek tovább, de nem azért, hogy egy tudományos sejtést igazoljanak, hanem mert ostoba kődarabok, amelyek nem tudnak mást, mint a rájuk ható fizikai hatások szerint mozogni.

Az ember megpróbál kitalálni egy szabályt, amely szerint kikövetkeztetheti, hogy mi fog történni a következő időben. De ne tévesszük össze: ez nem „természeti szabály”, hanem logikai: nem a természetben, hanem a fejünkben működik. Megfigyelünk egy helyzetet, képet készítünk róla az agyunkban, többé-kevésbé pontosan. Két folyamat zajlik ettől kezdve: egy a valóságban, a természet módján, egy pedig a fejünkben, a magunk kialakította logikánk módján. Telik az idő, kialakul egy újabb kép a természetben és egy újabb kép a fejünkben. Most megint megfigyeljük a természetet és megvizsgáljuk, hogy vajon azt történt-e, amire számítottunk: vagyis a természetben kialakult új állapotról is készítünk az agyunkban egy képet és ezt összehasonlítjuk azzal a képpel, amely a gondolkodásunk eredményeképpen alakult ki. Ha a kettő egyezik, akkor úgy érezzük, hogy jól értettük meg a természet működését. Ha nem egyezik, akkor át kell fogalmaznunk azt, amit eddig törvényszerűségnek gondoltunk.

Az egész tehát nem más, mint egy „Hogyan folytatnád ezt a sorozatot?”- típusú logikai játék. Megpróbáljuk kitalálni a szabályosságot és kikövetkeztetni, hogy mi lesz a sorozat folytatása. Ezután megnézzük a tényleges folytatást. Ha a tényleges folytatás az, amire számítottunk, akkor úgy érezzük, hogy megtaláltuk a szabályt. Egészen addig érezzük így, amíg nem tapasztalunk a sorozatban olyan elemet, amely eltér attól, amit vártunk. Akkor megpróbáljuk a modellt továbbfejleszteni, hogy illeszkedjen minden eddigi esetre és erre a legújabbra is.

Persze ez a finom megkülönböztetés a mindennapi életben értelmetlennek tűnik: inkább valóban úgy fest, mintha az, amit kimondunk, valóban „a természet törvénye” volna. „Minden vízbe mártott test a súlyából annyit veszt, amennyi az általa kiszorított víz súlya, kisangyalom!” Ha tudományosan precízek akarnánk lenni, csak ezt mondhatnánk: „Eddig, az emberiség által elvégzett véges számú kísérlet során, ha megmérték egy vízbe mártott test súlyát és az általa kiszorított víz súlyát, akkor ennek a két súlynak az összege mérési hibahatáron belül megegyezett azzal a súllyal, mint amikor a test súlyát vízbe nem mártva mérték meg. Ezért azt feltételezzük, hogy az ilyen mérések a jövőben is ezt az eredményt fogják adni.”

A fizika, a kémia, a biológia, minden természettudomány a „Hogyan folytatnád ezt a sorozatot?” játék eddigi, máig meg nem cáfolt feltételezéseinek a gyűjteménye.

A természettudósok között az a megállapodás, hogy ha egy jelenséget kétféle módon is meg lehet magyarázni, akkor az egyszerűbb magyarázatot kell elfogadni: azt, amelyik kevesebb előfeltételezésre épül. A játékszabály tehát nem pusztán annyi, hogy „Találjuk ki, mi lehet a szabályosság ebben a sorozatban”, hanem: „Találjuk ki, mi lehet a legegyszerűbb szabályosság ebben a sorozatban”!

A dolog persze megoldhatatlanul nehéz. Hogy csak kettőt mondja a megoldhatatlanság okairól:

– a megfigyelésünk mindig pontatlan, tehát amikor a szabályt ki akarjuk találni, nem ismerjük igazán pontosan a folytatnivaló sorozat elemeit,

– és nem tudjuk garantálni, hogy maga a megfigyelés ne befolyásolja a megfigyelt folyamatot, tehát hogy „el ne rontsuk” valamennyire, amikor megfigyeljük.

A matematika: logikailag az ellenkezője. Nem arról van szó, hogy megfigyelünk valamit és megpróbáljuk kitalálni a szabályosságot, hanem képzeletbeli szabályokat találunk ki és csak később derülhet ki, hogy ezek ráillenek-e valamire. Semmi nincs, ami pontosan négyzet lenne vagy pontosan logaritmikusan változna. A „fizikai szabály” megfigyelésekből levont általánosítás, a „matematikai szabály” logikai játék.

„Képzeljünk el valamit, aminek semmi kiterjedése nincs. Hogy ne kelljen mindig elmondani, hogy ‘az a kiterjedés nélküli valami’, mondjuk helyette mindig azt, hogy ‘pont’. Képzeljünk el tehát egy ‘pont’-ot, majd képzeljük el mindazon ‘pont’-ok összességét, amelyek ettől az egytől teljesen azonos távolságra vannak. Hogy ezt a hosszút se kelljen mindig elmondani: ezeknek a pontoknak az összességét nevezzük úgy, hogy ‘gömb’.” Ezekután, ha elfogadjuk az Euklidészi Geometria nevű (vagy bármelyik másik) játékszabály-gyűjteményt, akkor a játék abból áll, hogy ki tud a ‘gömb’-ről újabb és újabb, a játékszabályoknak megfelelő mondatokat mondani.

Ennyi.

Vannak, akik a magas, tiszta, szent és érthetetlen matematika és a földhözragadt, piszkos, primitív valóság határvonalán élnek: mérnökök például. Ők azt mondják, hogy ha valami egyezred milliméter pontatlansággal ‘gömb’, akkor a napi gyakorlatban még egész jól gurul. A matematikus ezen csak kacag, hiszen ezredmilliméter pontatlanságú gömb nincs: valami vagy teljesen gömb, vagy egyáltalán nem. A tiszta matematika művelője ezért a mérnöki gondolkodás pontatlan termékeit használja ugyan, de mélyen megveti.

A matematikában tehát nem arról szól a játék, hogy valami sorozatot kellene folytatni. Nincs semmiféle sorozat. A játék abból áll, hogy találjunk ki minél több olyan fogalmat, állítást, szabályt, amely nincs ellentmondásban a korábbiakkal; illetve az elhangzott állítások bizonyítására vagy cáfolatára találjunk ki újabb gondolatmeneteket.

Ha valami teljesen új fogalmat kitalálunk és tulajdonságokat és szabályokat mondunk róla tetszésünk szerint anélkül, hogy a korábbiakkal ellentmondásba keverednénk: ezzel a matematika új ágát alapoztuk meg. Lehet, hogy ezzel (a szellemi érdekessége miatt) ezer más matematikus kezd foglalkozni; lehet, hogy egy se. De ennek semmi köze nincs ahhoz, hogy az új kitalációt valami valóságos jelenség inspirálta-e és hogy az eredményei a valóságban ráillenek-e bármire is.

Ahogyan azonban egy mostanában ritkábban idézett szerző említette: a lét határozza meg a tudatot. Ezért egy-egy matematikai „objektum” mégiscsak valami valóságos dolog végletekig vitt absztrakciója, és a matematika logikája mégiscsak a köznapi logika letisztított általánosítsa. Ezért aztán gyakori, hogy jó valamire, leképez valami valóban létezőt ahelyett, hogy elvont logikai játék maradna.

Kedves Angéla!

Arról beszélgettünk, hogy a lányaid, akik egyébként eleven eszű, érdeklődő és a szellemi erőfeszítéseket (például rejtvényeket) kedvelő emberkék, miért „irtóznak” a matematikától, fizikától. Ha úgy gondolod, hogy nem untatja őket, mutasd meg nekik ezt a levelet. Nagyszerű lenne, ha ráéreznének arra a szellemi kalandra, amelyet a matematika és a természettudományok jelentenek. Ettől persze még nem muszáj szeretniük ezeket az iskolai tantárgyakat. (Iskolai tantárgyként én se igen szerettem őket.) Csak az lenne jó, ha megéreznék: az, ami az iskolában nagyon leegyszerűsítve, elő-emésztve megjelenik, az valójában egy csodálatos és – minden látszat ellenére – nagyon játékos világ „iskolásított” változata.
Üdv a családnak, és remélem, hogy tíz-húsz évenként ezentúl is találkozunk!